• Titularizare
  • Subiecte titularizare 2024

Subiecte titularizare matematica 2024 - Profesori: Modele de teste REZOLVATE

 Subiecte titularizare matematica. $\nabla \nabla$ Vezi mai jos teste rezolvate de matematica pentru reusita la examenul de titularizare $\nabla \nabla$

Model de subiect REZOLVAT pentru examenul de titularizare matematica - Profesori 2024

 

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acorda 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 4 ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Se da ecuatia $m{\cos }^2 x-2\left(m-1\right)\cos x+m+1=0$, unde $m \in \mathrm{ℝ}$. 

 a) Aratati ca pentru $m=\frac{1}{2}$, ecuatia nu are solutii. 5 puncte 
b) Pentru $m=0$ , rezolvati ecuatia in $\left(\pi ,3\pi \right)$. 5 puncte
c) Determinati numerele reale $m$ pentru care ecuatia are solutii. 5 puncte 

2. Se considera prisma patrulatera regulata $ALGORITM$ cu $AL=a, AR=2a$, unde $a \in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$
 a) Aratati ca daca $d(M, AT)=1, atunci a<1,1.$ 5 puncte 

 b) Aflati valoarea reala a numarului a pentru care volumul prismei este egal cu $\left(14+10\sqrt{2}\right)cm$ . 5 puncte 

c) Fie $B\in \left(AR\right), C\in \left(IL\right)$astfel incat $BR=21C=a.$ Daca $\left(BCT\right)\cap MO=\left\{D\right\},$calculati $\sin \left(\sphericalangle DBC\right)$. 5 puncte 

Modelul de subiect prezentat este extras din lucrarea Teste REZOLVATE de matematica pentru reusita la examenul de titularizare. Asigurati-va reusita la Examenul de titularizare din 2024! Click AICI pentru detalii si comenzi.   

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Pe multimea $M=[1,+\infty ),$ , se defineste legea de compozitie $x\circ y=1+{\log }_{2}x+{\log }_{2}y.$

a) Calculati $1\circ 2-2\circ 1.$ 5 puncte 
b) Aratati ca $2^4\circ \left(2^3\circ 2^4\right)=2^3.$ 5 puncte 

c) Aflati numerele naturale ${}^{ m} si {}^n$ pentru care $2^m\circ 2^n=2^{m+n}.$ 5 puncte

2. Se considera functia $f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=\left|2x^2-x-1\right|.$

a) Stabiliti domeniul de derivabilitate al functiei. 5 puncte
b) Studiati monotonia functiei pe intervalul 5puncte
c) Calculati ${\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx.$ 5 puncte 

Vezi sugestiile de rezolvari mai jos. ⬇⬇⬇⬇⬇⬇⬇⬇

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Urmatoarea secventa face parte din programa scolara de matematica pentru clasa a VII-a.
Competente specifice si exemple de activitati de invatare

Clasa a VII-a

1.1. Identificarea numerelor apartinand diferitelor submultimi ale lui $\mathrm{ℝ}.\mathrm{ℝ}$ – Identificarea patratelor unor numere naturale dintr-o enumerare de numere date – Identificarea, in exemple relevante, a relatiei intre puterea cu exponent 2 si radacina patrata a patratului unui numar natural – Identificarea radacinii patrate din patratul unui numar natural utilizand scrierea sub forma de putere cu exponent 2 – Recunoasterea numerelor naturale, întregi, rationale – Recunoasterea unui numar irational dintr-o multime de numere date – Identificarea unei forme convenabile de scriere a unui numar real in functie de un context dat

2.1. Aplicarea regulilor de calcul pentru estimarea si aproximarea numerelor reale – Scrierea unui numar real in diverse forme – Aproximarea unui numar real si reprezentarea acestuia pe axa numerelor – Determinarea opusului, a modulului si a inversului unui numar real – Compararea numerelor reale utilizand modulul, aproximari, incadrarea unui numar real intre doi intregi consecutivi, scoaterea factorilor de sub radical, introducerea factorilor sub radical

3.1. Utilizarea unor algoritmi si a proprietatilor operatiilor in efectuarea unor calcule cu numere reale – Utilizarea regulilor de calcul pentru produsul/raportul a doi radicali si pentru rationalizarea numitorului – Utilizarea de rationalizari sau introducerea/scoaterea factorilor de sub radical pentru a compara/ordona numere irationale – Calcularea modulului unor sume/diferente de numere irationale – Calcularea puterii cu exponent numar intreg a unui numar real nenul – Exersarea regulilor privind ordinea efectuarii operatiilor cu numere reale – Utilizarea calculatorului pentru efectuarea sau verificarea unor calcule cu numere reale – Utilizarea distributivitatii inmultirii fata de adunare/scadere in exercitii de desfacere a parantezelor

4.1. Folosirea terminologiei aferente notiunii de numar real (semn, modul, opus, invers) – Sortarea unor numere naturale, intregi, rationale sau irationale in functie de multimea careia ii apartin utilizand terminologia adecvata – Utilizarea terminologiei specifice notiunii de numar real in descrierea modului de rezolvare a unui exercitiu/a unei probleme – Identificarea rezultatului corect dintr-o lista de raspunsuri posibile

5.1. Elaborarea de strategii pentru rezolvarea unor probleme cu numere reale – Determinarea mediei geometrice a doua numere reale pozitive – Determinarea mediei aritmetice ponderate a doua sau mai multor numere reale – Rationalizarea unor numitori de forma $a b cu ab,\in {\mathrm{ℝ\mathbb{Q}}}_{+}$ – Scrierea adecvata a unor rapoarte de numere reale care necesita rationalizare, descompunere in factori si/sau simplificare – Rezolvarea de probleme in care apar medii (aritmetica ponderata sau geometrica)

6.1. Modelarea matematica a unor situatii practice care implica operatii cu numere reale ---- – Formularea de probleme pornind de la un set de informatii obtinute din cotidian sau din diverse domenii – Verificarea validitatii unor afirmatii pe cazuri particulare sau prin construirea unor exemple si/sau contraexemple – Rezolvarea unor probleme cu continut practic, utilizand proprietatile operatiilor cu numere reale

 

Vezi sugestiile de rezolvari mai jos. ⬇⬇⬇⬇⬇⬇⬇⬇

Domeniu de continut

Continuturi

Multimi. Numere

MULTIMEA NUMERELOR REALE - Radacina patrata a patratului unui numar natural; estimarea radacinii patrate dintr-un numar rational - Scoaterea factorilor de sub radical; introducerea factorilor sub radical - Numere irationale, exemple; multimea   numerelor reale; incluziunile $\mathrm{\mathbb{N}}\subset \mathrm{\mathbb{Z}}\subset \mathrm{\mathbb{Q}}\subset \mathrm{ℝ\mathbb{N}};$modulul unui numar real (definitie, proprietati)1; compararea si ordonarea numerelor reale; reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor prin aproximari - Operatii cu numere reale (adunare, scadere, inmultire, impartire, puteri cu exponent numar intreg); rationalizarea numitorului de forma $a\sqrt{b}$ - Media aritmetica ponderata a n numere reale, $n\ge 2;$ media geometrica a doua numere reale pozitive  - Ecuatia de forma $x^2=a,$unde a$\in \mathrm{ℝ}$

Nota: Continuturile vor fi abordate din perspectiva competentelor specifice. Activitatile de învatare sugerate ofera o imagine posibila privind contextele de formare/dezvoltare a acestor competente.
(Programa scolara pentru disciplina Matematica, OMEN nr. 3393/28.02.2017)

Folosind informatiile din secventa de mai sus, în vederea evaluarii formarii/dezvoltarii
competentelor specifice precizate, elaborati o proba de evaluare la finalul unitatii de învatare
„Multimea numerelor reale”, care sa cuprinda 6 itemi: un item de completare, un item cu raspuns scurt, un item de tip pereche, un item de tip alegere multipla, un item de tip întrebare structurata si un item de tip rezolvare de probleme.
Nota. Pentru fiecare dintre itemii elaborati se puncteaza mentionarea competentei specifice evaluate, respectarea formatului itemului, elaborarea raspunsului asteptat (baremul de evaluare) si corectitudinea stiintifica a informatiei de specialitate.

${}^1$La definirea notiunii de modul se va insista pe reprezentarea lui pe axa numerelor si pe semnificatia sa ca distanta. 

Modelul de subiect prezentat este extras din lucrarea Teste REZOLVATE de matematica pentru reusita la examenul de titularizare. Asigurati-va reusita la Examenul de titularizare din 2024! Click AICI pentru detalii si comenzi.   

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

SUGESTII DE REZOLVARI: Model de subiect pentru examenul de titularizare la matematica 2024

 

SUBIECTUL I

1. a) $m=\frac{1}{2}\Rightarrow$ecuatia devine: $\frac{1}{2}{\cos }^2 x-2\left(\frac{1}{2}-1\right)\cos x + \frac{1}{2}+1=0 \iff {\cos }^{2}x+2\cos x+3=0$
Notam $\cos x = t \Rightarrow t^2 + 2t + 3 = 0,$ecuatie pentru care $∆=2^2-4·1·3=4-12=-8<0$

$\Rightarrow t\notin \mathrm{ℝ}\Rightarrow \cos x \notin \mathrm{ℝ} fals.$
$\Rightarrow ecuatia nu are solutii$
1. b) $m=0\Rightarrow ecuatia devine: 0·{\cos }^2 x-2\left(0-1\right)\cos x+0+1=0 \iff 2\cos x+1=0$
$$\begin{gathered} \iff \cos x =-\frac{1}{2}\Rightarrow x=x=\pm arc\cos \left(-\frac{1}{2}\right)+2\mathrm{\pi n},\mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{Z}} \\ \iff \mathrm{x} =\pm \frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi n},\mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$
Dar $x\in \left(\mathrm{\pi },3\mathrm{\pi }\right)$

Pentru $n=0\Rightarrow x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}<\mathrm{\pi } \mathrm{sau} \mathrm{x} =-\frac{2\mathrm{\pi }}{3}<0<\mathrm{\pi }\left(1\right)$

Pentru $n=1\Rightarrow \mathrm{\pi }<\mathrm{x}=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi }=\frac{8\mathrm{\pi }}{3}<\frac{9\mathrm{\pi }}{3}=3\mathrm{\pi } \mathrm{sau} \mathrm{x} =-\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi }=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}>\frac{3\mathrm{\pi }}{3}=\mathrm{\pi },\frac{4\mathrm{\pi }}{3}<\frac{4\mathrm{\pi }}{3}<\frac{9\mathrm{\pi }}{3}=\mathrm{\pi }\left(2\right)$

Pentru  $n\ge 2,\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2n\mathrm{\pi }\ge \frac{2\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi }>3\mathrm{\pi } \mathrm{iar} -\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{n}\ge -\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi }=\frac{10\mathrm{\pi }}{3}>\frac{9\mathrm{\pi }}{3}=3\mathrm{\pi }\left(3\right)$

Din (1), (2), (3) $\Rightarrow x\in \left\{\frac{4\mathrm{\pi }}{3},\frac{8\mathrm{\pi }}{3}\right\}$

1. c) Notam $\cos x =t \Rightarrow$ecuatia devine $m{t}^2-2\left(m-1\right)t+m+1=0$

Cum $\cos x \in \left[-1,1\right]$, ecuatia noastra va avea solutii daca pentru ecuatia in t avem cel putin o solutie in intervalul $\left[-1,1\right]$

Identificam cazurile:
Cazul 1. Avem solutia $t=-1,\Rightarrow m-2\left(m-1\right)\left(-1\right)+m+1=0\Rightarrow m+2m-2+m+1=0$

$\Rightarrow 4m=1\Rightarrow m=\frac{1}{4} \left(4\right)$

Cazul 2. Avem solutia $$\begin{gathered} t=1, \Rightarrow m-2\left(m-1\right)+m+1=0\Rightarrow m-2m+2+2+1=0 \\ \Rightarrow 0m=-3 Imposibil \left(5\right) \end{gathered}$$

Pentru celelalte cazuri avem nevoie de semnul lui $∆$

$$\begin{gathered} ∆=b^2-4ac={\left[-2\left(m-1\right)\right]}^2-4·m·\left(m+1\right)=4m^2-8m+4-4m^2-4m=-12m+4 \\ ∆=0\iff -12m+4\iff -12m=-4\iff m=\frac{-12}{-4}\iff m=\frac{1}{3} \end{gathered}$$
Semnul lui $∆$este:
 

$m$	$-\infty$	$0$		$\frac{1}{3}$			$+\infty$
$∆$	$+$	$|$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$

 

Pentru m = 0 nu avem ecuatie de gradul al II-lea. Cazul m=0 a fost analizat la subpunctul b), de unde deducem ca pentru m = 0 avem solutii. (6) 


Cazul 3. $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}∆=0 \\ -1<t_{v }=\frac{-b}{2a}=\frac{2\left(m-1\right)}{2m}<1 \\ m\ne 0\end{array}\right.\iff \iff \left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{3}\\ -1<\frac{2_1\left({\displaystyle \frac{1}{3}}-1\right)}{2_1·{\displaystyle \frac{1}{3}}}<1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{3}\\ -1<-2<1\end{array}Fals \left(7\right)\right. \end{gathered}$$


Fie $f$:$\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ},f$$\left(t\right)=m{t}^2-2(m-1)t+m+1, m\in {\mathrm{ℝ}}^{*},$functia de gradul al II-lea, pentru care avem: 

$a=m,b=-2(m-1),c=m+1$

Iar 

$f\left(-1\right)=4m$$-1$
$f\left(1\right)=3$

Cazul 4. $m\ne 0 si \left\{\begin{array}{l}∆>0\\ t_1<-1<t_2<1\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}mE\left(-\infty ,\frac{1}{3}\right)\left(0\right)\\ a·f (-1)<0\\ a·f \left(1\right)>0\\ -\frac{2}{2a}<1\end{array}\right.$$\iff \backslash \left\{0\right\}\left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ,\frac{1}{3}\right)\backslash \left\{0\right\}\\ m·\left(4m-1\right)<0\Rightarrow m\in \left(0,\frac{1}{4}\right)\\ m·3>0\Rightarrow m\in (0,+\infty )\\ \frac{2_1(m-1)}{2_{1}m}<1\Rightarrow m\in (0,+\infty )\end{array}\right.\Rightarrow m\in \left(0,\frac{1}{4}\right) \left(8\right)$



Pentru ca $\frac{m-1}{m}<1\iff 1-\frac{1}{m}<1\iff \frac{1}{m}>0\iff m>0\Rightarrow m\in (0.+\infty )$

 

Cazul 5. $$\begin{gathered} m\ne 0 si \left\{\begin{array}{l}∆>0\\ -1<t_1<t_2<1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ,\frac{1}{3}\right) \backslash \left\{0\right\}\\ a·f(-1)>0 \\ a·f\left(1\right) > 0 \\ -1<-\frac{b}{2a}<1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ,\frac{1}{3}\right) \backslash \left\{0\right\}\\ m · \left(4m-1\right)>0 \\ m · 3 > 0 \\ -1 < \frac{m-1}{m}<1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ,\frac{1}{3}\right) \backslash \left\{0\right\}\\ m \in \left(-\infty ,0\right) \cup \left(\frac{1}{4},+\infty \right) \\ m \in \left(0, +\infty \right) \\ m \in (0,\frac{1}{2})\end{array}\Rightarrow m \in \right.\left(\frac{1}{4},\frac{1}{3}\right) \left(9\right) \end{gathered}$$


Pentru ca $$\begin{gathered} -1<\frac{m-1}{m}<1\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{-m-m+1}{m}<0 \iff \frac{-2m+1}{m}<0\Rightarrow m\in \left(0,\frac{1}{2}\right)\\ 1-\frac{1}{m}<1\iff \frac{1}{m}>0\Rightarrow m>0\Rightarrow m\in \left(0.+\infty \right)\end{array}\right.\iff m\in \left(0,\frac{1}{2}\right), unde am \\ tinut cont ca \frac{-2m+1}{2} are semnul expresiei m \left(-2m+1\right) care se anuleaza, evident, in \frac{1}{2}. \end{gathered}$$


Cazul 6. $$\begin{gathered} m\ne 0 si \left\{\begin{array}{l}∆>0\\ -1<t_1<1<t_2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ,\frac{1}{3}\right) \backslash \left\{0\right\}\\ f(-1)·f\left(1\right)<0 \\ -\frac{b}{2a}>-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ,\frac{1}{3}\right) \backslash \left\{0\right\}\\ \left(4m-1\right)·3<0\Rightarrow m\in \left(-\infty ,\frac{1}{4}\right) \\ \frac{m-1}{m}>-1\Rightarrow m\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(\frac{1}{2},+\infty \right)\end{array}\right.\Rightarrow m \in (-\infty ,0) \left(10\right) \end{gathered}$$


Din $\left(4\right)-\left(10\right)\Rightarrow m\in \left(-\infty ,\frac{1}{3}\right).$

 

Vezi AICI continuarea SUGESTIILOR de REZOLVARI.  

 

Sugestiile de rezolvari prezentate sunt extrase din lucrarea Teste REZOLVATE de matematica pentru reusita la examenul de titularizare. Asigurati-va reusita la Examenul de titularizare din 2024! Click AICI pentru detalii si comenzi.  

 

Subiecte si barem corectare Titularizare Matematica 2023 - 12.07.2023 

Subiect si Barem Matematica Titularizare 2023 

Descarca de AICI toate subiectele si baremele pentru Titularizare 2023

Subiecte si barem corectare Titularizare Matematica 2022 - 13.07.2022

Subiecte Titularizare Matematica 2022

Barem Titularizare Matematica 2022